A la dècada del 1950, Ernst Straus, matemàtic alemany - americà, es va
plantejar:
N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera
qualsevol, independentment de la seva geometria, la qual té totes les parets
recobertes de miralls, si...
- No
podem escollir la ubicació del llum?
- Podem
escollir on col·loquem el llum?
Abans d’endinsar-nos més en aquest problema, comentar que el llum il·lumina 360º i la llum es reflecteix seguint les lleis de reflexió.
Cal entendre que, quan es diu qualsevol cambra, independentment de la seva
geometria, vol dir qualsevol cambra, encara que no sigui la típica habitació
amb base rectangular. Podria tenir com a base un polígon qualsevol, no
necessàriament regular. O bé podria tenir parets corbes, com la Casa Milà, de Gaudí.
CASA MILÀ, Antoni Gaudí (foto extreta de Wikipedia)
També podria
ser una habitació amb un disseny tan extravagant que només és imaginable en una
galeria d’art. Podria tenir una geometria tan fora de l’habitual que només
aparegués als malsons dels dissenyadors de IKEA, que ni tan sols amb tot el seu
catàleg fossin capaços de moblar-la. Per tant, fins aquí s'ha d'entendre que quan es diu qualsevol cambra, pot ser una cambra qualsevol.
Quan la qüestió diu “una cambra qualsevol”, de fet, pregunta si totes les
cambres satisfan aquesta propietat, si totes les cambres amb les parets
recobertes de miralls poden il·luminar-se amb una única font de llum.
En el cas en què no es pot escollir la ubicació del llum, per tal que la
resposta sigui que sí, és a dir, per tal que es pugui afirmar que “N’hi ha prou
amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, [la qual té totes les parets recobertes de miralls, independentment
de la seva geometria,] quan
no podem escollir la ubicació del llum”, cal provar que tota cambra [...] es
pot il·luminar en la seva totalitat mitjançant una única font de llum
independentment del lloc on es col·loqui aquesta. En altres paraules, si la
resposta és que sí, sigui quina sigui la cambra, sigui on sigui que es
col·loqui el llum, la cambra sencera quedaria il·luminada. En canvi, si la
resposta és que no, és a dir, si: “No n’hi ha prou amb una única font de llum
per il·luminar una cambra sencera qualsevol [...] quan no podem escollir la ubicació del llum”,
vol dir que es pot dissenyar una cambra, amb les parets recobertes per miralls,
tal que, segons quin lloc estigui fixat per col·locar el llum, no es podrà
il·luminar l’habitació en la seva totalitat.
Dit d’una altra forma, si la resposta és que no, es pot construir una
habitació amb les parets recobertes de miralls tal que, si el llum es posa en
certa ubicació, aleshores queden regions fosques. Aquesta construcció és el que
se’n diu un contraexemple.
En el cas en què es pot triar la ubicació del llum, per tal que la resposta
sigui que sí, és a dir, per tal que es pugui afirmar que “N’hi ha prou amb una
única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, [...] quan
podem escollir la ubicació del llum”, cal provar que per tota cambra [...] existeix alguna ubicació
on, si es col·loca el llum, es pot il·luminar l’habitació en la seva totalitat.
Dit d’una altra manera, si la resposta és que sí, s’ha de demostrar que sigui
quina sigui la cambra [...], sempre hi ha un lloc on si es posa el llum, no hi
ha regions fosques. Per contra, si la resposta és que no, és a dir, si: “No
n’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera
qualsevol [...] encara que es pugui escollir la ubicació del llum”, vol dir que
es pot dissenyar certa cambra amb les parets recobertes de miralls, tal que no
existeix cap posició on si es col·loca el llum, quedi l’habitació sencera
il·luminada. En altres paraules, es pot construir una habitació amb parets
recobertes per miralls tal que, sigui on sigui que es posi el llum, hi haurà
regions fosques. Aquesta cambra seria, doncs, un contraexemple.
Aquest és un problema que, tot i no ser exageradament complicat en el seu enunciat,
no té una solució trivial. Amb l’objectiu d’anar-se familiaritzant amb el problema,
es proposa a continuació una versió simplificada del problema:
N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera
qualsevol, independentment de la seva geometria, si...
- No
podem escollir la ubicació del llum?
- Podem
escollir on col·loquem el llum?
T’atreveixes a
respondre les preguntes? En un futur post es comentaran els resultats. En aquesta publicació no, perquè no vull fer SPOILERS. Ara per ara t’animo a que hi pensis i si
vols fer qualsevol tipus d’aportació pots deixar un comentari.
