sábado, 28 de abril de 2018

El Geogebra, un recurs fantàstic

Avui estic emocionada de parlar-vos del Geogebra. Per a aquells que no el coneguin, es tracta d'un software matemàtic interactiu que dóna infinites possibilitats. 

El creador d'aquesta meravella és en Markus Hohenwarter, un matemàtic austríac que va iniciar el desenvolupament d'aquest programa com a part del seu treball de tesi al 2001. Està disponible per a múltiples plataformes: Windows, Debian, Ubuntu, Red Hat, entre d'altres. Fins i tot una gran quantitat d' smartphones poden disposar d'aquesta aplicació. 


Bé, a hores d'ara, us hauríeu d'estar preguntant perquè estic tan il·lusionada i fascinada per aquest recurs. Doncs el cert és que aquest programa reuneix àlgebra, geometria, estadística i càlcul. Amb totes aquestes eines, us imagineu la quantitat de coses que es poden arribar a fer? Personalment ho considero un recurs esplèndid, per mi indispensable fins i tot. Seguidament trobeu un video on, el propi Markus Hohenwarter, explica perquè Geogebra és tan fantàstic.




A continuació, us deixo el link de la meva pàgina de Geogebra on vaig penjant part del material que vaig creant: 

https://www.geogebra.org/u/parrebola -et convido a clicar "Mostrar tots"- 


A dia d'avui encara desconeixo gran quantitat de funcions que ofereix Geogebra, però vaig aprenent dia a dia. És molt engrescador posar-s'hi, i anar descobrint i avançant. A més, cal destacar que és molt intuitiu, i a la pàgina web de Geogebra hi ha molta informació addicional, com també molts tutorials a youtube.

Desitjo haver despertat el vostre interès sobre aquest programa. Per provar-lo no cal ni que el descarregueu (tot i que jo ho recomenaria). Es pot emprar de manera online, sense necessitat de registrar-se. Així que no hi ha excusa per no donar-hi un cop d'ull. 

miércoles, 25 de abril de 2018

Simplificant el problema de la Il·luminació: Convexitat, Concavitat i Conjunts Estrellats

Us deixo un petit tastet d'una activitat que estic preparant. Espero que us agradi. Està basada en el problema que vaig plantejar en el post Mirem el problema d'aprop. Es planteja d'una forma bastant gradual, poquet a poquet. Això permet que es pugui tractar també amb alumnes de nivell d'ESO. 

De moment us deixo el link del Geogebra on trobareu les activitats: (cliqueu sobre "Primera pregunta" i sobre "Segona pregunta")


Primera preguntaN'hi ha prou amb una única font de llum, la qual radia llum en totes les direccions, per il·luminar qualsevol cambra, independentment de la seva geometria, si no podem triar on es col·loca el llum?

Segona preguntaN'hi ha prou amb una única font de llum, la qual radia llum en totes les direccions, per il·luminar qualsevol cambra, independentment de la seva geometria, si podem triar on es col·loca el llum?













Pròximament tindreu també a la vostra disposició la fitxa, amb més comentaris, anotacions i algunes conclusions importants. Qualsevol comentari o Feedback, no dubteu en deixar un comentari.

martes, 24 de abril de 2018

Més fotos de la Matefest-Infofest 2018

La Biblioteca de Matemàtiques i Informàtica de la Universitat de Barcelona, al blocmat, ha publicat un resum fotogràfic de la Matefest Infofest 2018 en aquest enllaç


Un treball esplèndid. A continuació es mostren les fotografies relatives a l'estand del Problema de la Il·luminació: 















domingo, 22 de abril de 2018

Diada de la Matefest-Infofest 2018

El passat 18 d'abril, tal com ja es va enunciar en una publicació anterior, se celebrava la jornada de la Matefest Infofest, en la qual vaig tenir el plaer de participar fent difusió sobre les matemàtiques, el problema de la il·luminació, algunes de les lleis de l'òptica geomètrica, i les còniques i les seves propietats òptiques.  A continuació us deixo un video perquè tingueu un tastet: 




La Universitat de Barcelona va obrir les portes de la facultat i del món de les matemàtiques i de la informàtica a un munt d'estudiants, professors i tota la gent que hi estiguès interessada. Aquests podien assistir a xerrades com també visitar els catorze estands que hi havia, els quals presentaven una gran diversitat de temes, com el Problema de la Il·luminació, les Criptomonedes, els Grafs, els Jocs matemàtics, els Jocs d'atzar, entre d'altres. Com en els darrers anys, el Museu de les Matemàtiques tornava a participar i a tenir un estand. Fou un honor compartir escenari amb tots ells. 

És clar que va ser un dia de molta activitat, però realment va valer molt la pena. Personalment estic molt satisfeta, i no només de la oportunitat que se'm va oferir per fer divulgació i despertar l'interès i la curiositat sobre les matemàtiques a les futures generacions, sinó també de l'aprofitament que se n'ha tret. Realment l'estand va tenir molt bona acollida per part dels estudiants. 



Un cop venien, els introduïa una mica d'història sobre el problema de la Il·luminació i l'enunciava. Aleshores, els animava a conjecturar sobre el problema i a argumentar les seves especulacions. A continuació, i sense desvetllar encara res, els proposava que ens endinsèssim una mica més en el tema. 



Considerant que les hipòtesis del problema es basen en el comportament de la llum, semblava coherent establir certa base sobre el coneixement del comportament d'aquesta. Aquell era el moment perfecte per preguntar-los-hi com es propagava la llum per l'aire. Molts deien que en línia recta, i en efecte. Aleshores els vaig preguntar el perquè, i el seu rostre va canviar, va nèixer en ells la curiositat. Vam fer una experiència amb un làser espolsant uns esborradors de pissarra i vam corroborar que es propagava en línia recta. Però encara no s'havia respost la pregunta. En aquell moment, en el qual estaven totalment engrescats amb el taller, vaig aprofitar per explicar-los que era conseqüència del Principi de Fermat i que la llum es propaga de manera que fa el camí pel qual triga menys temps. Seguidament vam parlar de les lleis de la reflexió i també les vam posar en pràctica. Juntament amb això, vaig mostrar alguns Geogebres, els quals penjaré al web pròximament.





Fins aquí, s'havia tractat la reflexió en superfícies planes, però ara era el moment de parlar de superfícies que no fossin planes. Havia arribat l'hora de tractar les còniques. Per tal de presentar-les em vaig ajudar d'uns cons de porexpan, els quals havia tallat el meu company Edgar Harris de manera que s'obtinguessin les diferents còniques. Un cop introduïdes les còniques, calia estudiar els rebots en l'el·lipse. Però abans, per què no parar-se a identificar què és una el·lipse? Com també saber distingir-la d'una circumferència o d'un altre tipus de figura corba. Era un bon moment per mirar com es construeixen les el·lipses i, de pas, fer una repassada de la seva definició. En efecte, vam parlar del mètode del Jardiner per construir el·lipses i els propis alumnes van poder dibuixar el·lipses mitjançant el material que hi havia a l'estand. Tot seguit, s'analitzaven els rebots del làser en les el·lipses. La manera de fer era la següent: Sempre es plantejava una pregunta de manera que els alumnes especulessin i fessin conjectures i les argumentessin, i desprès es posava a prova el que s'havia dit. Era emocionant veure com els alumnes s'exaltaven quan havien encertat, i com els altres reflexionaven i acabaven convençuts. 




Finalment, arribava l'hora de la veritat, tornàvem al problema que s'havia enunciat al principi i, amb tota la informació acabada de pair, tornava a fer les preguntes. Alguns alumnes havien canviat de parer, i d'altres que abans s'havien pronunciat, ja no estaven tan segurs dels seus raonaments. És precisament en aquest moment que els vaig presentar la cambra de Penrose. Els vaig preguntar si creien que es podria il·luminar sencera sense que quedessin regions fosques. La majoria va dir que no, així que els vaig preguntar si això pensaven que passaria sempre o només si posava el focus de llum en algun punt en concret. Els estudiants es posaven a reflexionar, a debatre els uns amb els altres. Desprès de plantejar algunes qüestions més, ho vam posar en pràctica. Aquells que havien encertat ho celebraven i a tots se'ls veia motivats. 



Vull agrair a la Universitat de Barcelona, novament, aquesta oportunitat, com també haver-me facilitat part del material que vaig emprar. També al meu tutor, en Jordi Font, que és un pilar fonamental per aquest projecte. Cal també donar les gràcies al CESIRE, pel seu suport, en especial al Sergi Muria. També al Doctor Artur Travesa, el qual va fer aportacions molts interessants, les quals empraré probablement en futures publicacions. Agrair també a totes aquelles persones que van venir a l'estand, d'entre les quals voldria destacar, els alumnes dels següents instituts, els quals van reafirmar la meva vocació de ser professora: 
  • IES Manuel Blancafort, La Garriga
  • IES Numància, Santa Coloma de Gramanet
  • IES Anna Gironella de Mundet, Barcelona
  • IES Francesc Macià, Cornellà de Llobregat
  • IES Sales, Viladecans
  • INS Voltreganès, Barcelona
  • INS Joaquim Rubió i Ors
  • Maristes Anna Ravell, Barcelona

Per acabar, donar les gràcies a tots aquells estimats i amics que van donar-me suport o van voler apropar-se i no vaig poguer atendre com es mereixen a causa de la quantitat immensa de gent que envoltava l'estand. 


sábado, 21 de abril de 2018

Mirem el problema d'aprop


A la dècada del 1950, Ernst Straus, matemàtic alemany - americà, es va plantejar:

N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, independentment de la seva geometria, la qual té totes les parets recobertes de miralls, si...
  •         No podem escollir la ubicació del llum?
  •         Podem escollir on col·loquem el llum?

Abans d’endinsar-nos més en aquest problema, comentar que el llum il·lumina 360º i la llum es reflecteix seguint les lleis de reflexió.

Cal entendre que, quan es diu qualsevol cambra, independentment de la seva geometria, vol dir qualsevol cambra, encara que no sigui la típica habitació amb base rectangular. Podria tenir com a base un polígon qualsevol, no necessàriament regular. O bé podria tenir parets corbes, com la Casa Milà, de Gaudí. 


Resultado de imagen de casa mila


CASA MILÀ, Antoni Gaudí (foto extreta de Wikipedia)
També podria ser una habitació amb un disseny tan extravagant que només és imaginable en una galeria d’art. Podria tenir una geometria tan fora de l’habitual que només aparegués als malsons dels dissenyadors de IKEA, que ni tan sols amb tot el seu catàleg fossin capaços de moblar-la. Per tant, fins aquí s'ha d'entendre que quan es diu qualsevol cambra, pot ser una cambra qualsevol. 

Quan la qüestió diu “una cambra qualsevol”, de fet, pregunta si totes les cambres satisfan aquesta propietat, si totes les cambres amb les parets recobertes de miralls poden il·luminar-se amb una única font de llum.

En el cas en què no es pot escollir la ubicació del llum, per tal que la resposta sigui que sí, és a dir, per tal que es pugui afirmar que “N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, [la qual té totes les parets recobertes de miralls, independentment de la seva geometria,] quan no podem escollir la ubicació del llum”, cal provar que tota cambra [...] es pot il·luminar en la seva totalitat mitjançant una única font de llum independentment del lloc on es col·loqui aquesta. En altres paraules, si la resposta és que sí, sigui quina sigui la cambra, sigui on sigui que es col·loqui el llum, la cambra sencera quedaria il·luminada. En canvi, si la resposta és que no, és a dir, si: “No n’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol [...]  quan no podem escollir la ubicació del llum”, vol dir que es pot dissenyar una cambra, amb les parets recobertes per miralls, tal que, segons quin lloc estigui fixat per col·locar el llum, no es podrà il·luminar l’habitació en la seva totalitat.  Dit d’una altra forma, si la resposta és que no, es pot construir una habitació amb les parets recobertes de miralls tal que, si el llum es posa en certa ubicació, aleshores queden regions fosques. Aquesta construcció és el que se’n diu un contraexemple.

En el cas en què es pot triar la ubicació del llum, per tal que la resposta sigui que sí, és a dir, per tal que es pugui afirmar que “N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, [...] quan podem escollir la ubicació del llum”, cal provar que per  tota cambra [...] existeix alguna ubicació on, si es col·loca el llum, es pot il·luminar l’habitació en la seva totalitat. Dit d’una altra manera, si la resposta és que sí, s’ha de demostrar que sigui quina sigui la cambra [...], sempre hi ha un lloc on si es posa el llum, no hi ha regions fosques. Per contra, si la resposta és que no, és a dir, si: “No n’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol [...] encara que es pugui escollir la ubicació del llum”, vol dir que es pot dissenyar certa cambra amb les parets recobertes de miralls, tal que no existeix cap posició on si es col·loca el llum, quedi l’habitació sencera il·luminada. En altres paraules, es pot construir una habitació amb parets recobertes per miralls tal que, sigui on sigui que es posi el llum, hi haurà regions fosques. Aquesta cambra seria, doncs, un contraexemple.

Aquest és un problema que, tot i no ser exageradament complicat en el seu enunciat, no té una solució trivial. Amb l’objectiu d’anar-se familiaritzant amb el problema, es proposa a continuació una versió simplificada del problema:

N’hi ha prou amb una única font de llum per il·luminar una cambra sencera qualsevol, independentment de la seva geometria, si...
  •        No podem escollir la ubicació del llum?
  •         Podem escollir on col·loquem el llum?

T’atreveixes a respondre les preguntes? En un futur post es comentaran els resultats. En aquesta publicació no, perquè no vull fer SPOILERS. Ara per ara t’animo a que hi pensis i si vols fer qualsevol tipus d’aportació pots deixar un comentari.

martes, 10 de abril de 2018

Participació en l'event de la Matefest-Infofest 2018


Hola a tothom, 

tinc el plaer de comunicar-vos que el pròxim 18 d'abril se celebra la Matefest-Infofest a la Universitat de Barcelona, a l'edifici històric (Gran Via de les Corts Catalanes, 585). I això no és tot. Hi haurà un stand sobre el Problema de la Il·luminació, del qual serà encarregada servidora. 

El tríptic informatiu és el següent: 








Volia des d'aquí agraïr a la Universitat de Barcelona aquesta oportunitat de donar visibilitat i possibilitat de projecció a aquest projecte. Serà un repte que s'abordarà amb molta il·lusió i ganes.

Per qualsevol dubte, relatiu al problema o al grau de Matemàtiques de la Universitat de Barcelona, del qual sóc alumna, podeu posar-vos en contacte amb mi. 

Us espero el pròxim 18 d'abril, de 9 a 13h. Animeu-vos-hi!

viernes, 6 de abril de 2018

Una mica d'història

Si un imagina una habitació amb les parets recobertes de miralls, que té una figura geomètrica tan extravagant com es vulgui, i en la qual es pot col·locar una única font de llum:
  • Quedarà tota la cambra il·luminada després de repetides reflexions, independentment d'on es posi el llum?
  • Existeix sempre una posició on col·locar el llum de manera que la totalitat de l'habitació quedi il·luminada després de repetides reflexions?
L'autoria d'aquestes preguntes se li atribueix al matemàtic alemany-americà Ernst Straus, sobre principis de la dècada del 1950.


La primera aparició d'un problema de característiques similars fou al 1958, de la mà del matemàtic britànic Penrose. En aquest cas, es tracatava la primera pregunta i s'imposava que la cambra tingués la forma d'una corba tancada diferenciable. De fet, s'afirmava que la resposta a aquesta pregunta era negativa i es demanava la construcció d'un contraexemple en 2 dimensions i es preguntava si aquest resultat es podia extendre a 3 dimensions. També val a dir que, en comptes de plantejar el problema usant la llum, van expressar el problema en termes billarístics.

El primer cop que es va plantejar el problema en un article fou, però, al 1969, de la mà del matemàtic nord-americà Victor Klee. En aquest cas planteja el problema restringint-lo a una regió poligonal. Klee remarca el fet que el problema suggereix fer experiments i simulacions, alhora que denota que es poden donar dificultats en fer conjectures matemàtiques amb l'experimentació degut a complicacions tècniques i físiques. Finalment, també esmenta que aquest problema té versions que contemplen que la regió estigui delimitada per un nombre finit d'arcs diferenciables.
Aquest mateix matemàtic, al 1971, va proposar portar aquest problema a l'aula, amb estudiants d'institut. En aquell moment, el problema, en la versió poligonal, encara no estava resolt. Es tractava, doncs, de dur matemàtiques recents als estudiants, qüestions encara obertes que estaven ocupant a investigadors matemàtics d'aleshores. D'aquesta manera es pretenia, a més de despertar l'interés de les noves generacions, evidenciar la naturalesa viva, rica i evolutiva de la matemàtica, en contra de la concepció anquilosada que molta gent té al respecte.

El matemàtic i físic americà Jeffrey B. Rauch també va estudiar el problema de la Il·luminació i va publicar al 1978 un article, en el qual estudiava, a partir de les propietats geomètriques de l'el·lipse i un argument elemental de compacitat, quantes fonts de llum es requereixen per il·luminar l'interior d'una regió afitada.

Al 1991, com bé apunten Croft, Falconer i Guy, el problema en la versió poligonal encara estava obert, després de quaranta anys. Haurien de passar encara quatre anys més fins que, al 1995, el matemàtic canadenc George Tokarsky publica un contraexemple, una cambra de 26 costats. Aquesta és tal que, de col·locar la font de llum en una posició determianda, queda tota la cambra il·luminada excepte per un sol punt. Tot i ser un sol punt, això ja prova la resposta negativa a la primera pregunta en el cas poligonal.

Aquest no és l'únic contraexemple, però. A tall d'exemple, l'estudiant David Castro va proposar-ne un altre. De fet, va fer una modificació del model de Tokarsky, simplificant la solució a una cambra de 24 costats. 

Fins aquí s'hauria respost a la primera pregunta de Straus en el cas poligonal. Ara bé, vist que els contraexemples només contemplen que la regió no il·luminada té mesura zero, perquè és un conjunt finit de punts, sembla adient preguntar-se si tota cambra poligonal amb les parets reflectants es pot il·luminar de manera raonable. En un article al 2016, Samuel Lelièvre, Thierry Monteil i Barak Weiss afirmen i proven que en cambres del tipus translation surfaces, independentment d'on col·loquis el llum, només hi haurà un conjunt finit de punts no il·luminats.

Aquest resultat es basa en el treball dels matemàtics Alex Eskin, Maryam Mirzakhani (l'única dona guardonada amb la medalla Fields, la qual morí al juliol del passat 2017) i Amir Mohammadi. Ofereixen una profunda comprensió de l'acció del grup de transformacions, anomenat el grup lineal especial: SL2(Z).

Una cambra amb parets reflectants qualsevol, en general, no és una translation surface. Caldria ajuntar parets paral·leles de diferents habitacions, cosa que modificaria el resultat lleugerament. No obstant, sota certes hipòtesis, es pot deduir emprant una tècnica de desdoblegament de la superfície. En definitiva, es conclou que una habitació poligonal amb parets reflectants qualsevol es pot il·luminar pràcticament en la seva totalitat. 


Les fonts en les quals m'he basat per fer aquest recorregut històric són:
  • Penrose L. S. i Penrose R. (1958). "Puzzles for Christmas''. The New Scientist, 25 Dec, 1580-1581, 1597.
  • Klee, V. (1969). "Is every polygonal region illuminable from some point?'' The American Mathematical Monthly 76, 180.
  • Klee, V. (1971). The use of research problems in high school geometry. Dins: Steiner H. G. (eds). The Teaching of Geometry at the Pre-College Level (p. 206-213). University of Erlangen-Nürnberg, PH Bayreuth, West Germany.
  • Rauch, J. (1978). "Illumination of Bounded Domains." The American Mathematical Monthly 85, 359-361.
  • Croft, H. T.; Falconer, K. J.; i Guy, R. K. (1991). "Illumination Problems". Dins: Croft, H. T.; Falconer, K. J.; i Guy, R. K., Unsolved Problems in Geometry: Unsolved Problems in Intuitive Mathematics (p. 18-19). New York: Springer-Verlag.
  • Tokarsky, G. W. (1995). "Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point." The American Mathematical Monthly 102, 867-879.
  • Castro, D. (1997). "Corrections."  Quantum vol. 7, núm 3, p. 42. 
  • https://www.researchinfrance.com/single-post/2017/11/15/A-Little-Layout-Problem
  • Lelièvre, Samuel; Monteil, Thierry; Weiss, Barak (2016). "Everything is illuminated." Geometry Topology. vol. 20, no. 3, 1737-1762. 
  • https://www.youtube.com/watch?v=xhj5er1k6GQ

Sobre aquest Blog...

Benvingudes i benvinguts a aquest blog! 


L'objectiu d'aquest és, principalment, proporcionar material didàctic per fer activitats a l'aula relacionades amb el problema de la Il·luminació, tot tractant aspectes del currículum de Batxillerat.


Alguns dels continguts que es desenvoluparan són: 
  • Noció de conjunt convex i concau.
  • (Noció de conjunt estrellat.)*
  • Definició de l'el·lipse. 
  • Propietats òptiques de l'el·lipse. 
  • Resolució de problemes geomètrics. 
  • Principi de Fermat. 
  • 1a i 2a llei de la reflexió. 

A més de tractar aspectes propis del currículum, cal, però, remarcar la importància de dur aquestes activitats a l'aula, ja que és una oportunitat extraordinària per: 
  1. Fer una activitat interdisciplinar, on Matemàtiques i Física van de la mà, i la comprensió d'una matèria ajuda a la comprensió de l'altra i viceversa. 
  2. Portar problemes de matemàtiques on l'experimentació i la simulació, tant física com computacional, tenen un paper essencial. 
  3. Dur matemàtiques més actuals a l'aula. 
  4. Fer palesa la naturalesa viva de la Matemàtica. S'ha de comprendre que la Matemàtica és una ciència que encara s'està construint a dia d'avui, que creix dia a dia (o potser any rere any és més adient, ja que als avenços en matemàtiques es prenen el seu temps). 
  5. Parlar del paper dels investigadors i investigadores matemàtiques, que són els que s'ocupen principalment d'aquests avenços. D'aquesta manera, a més, es dóna visibilitat a aquesta ocupació, la qual fora del món de les matemàtiques pot passar una mica desapercebuda.

Doncs fins aquí la presentació del blog. Està fet amb molta cura i il·lusió. Espero que el gaudiu i us sembli útil i entretingut. Us animo a deixar comentaris tant per si teniu dubtes, com suggerències, o voleu compartir la vostra opinió.