viernes, 6 de abril de 2018

Una mica d'història

Si un imagina una habitació amb les parets recobertes de miralls, que té una figura geomètrica tan extravagant com es vulgui, i en la qual es pot col·locar una única font de llum:
  • Quedarà tota la cambra il·luminada després de repetides reflexions, independentment d'on es posi el llum?
  • Existeix sempre una posició on col·locar el llum de manera que la totalitat de l'habitació quedi il·luminada després de repetides reflexions?
L'autoria d'aquestes preguntes se li atribueix al matemàtic alemany-americà Ernst Straus, sobre principis de la dècada del 1950.


La primera aparició d'un problema de característiques similars fou al 1958, de la mà del matemàtic britànic Penrose. En aquest cas, es tracatava la primera pregunta i s'imposava que la cambra tingués la forma d'una corba tancada diferenciable. De fet, s'afirmava que la resposta a aquesta pregunta era negativa i es demanava la construcció d'un contraexemple en 2 dimensions i es preguntava si aquest resultat es podia extendre a 3 dimensions. També val a dir que, en comptes de plantejar el problema usant la llum, van expressar el problema en termes billarístics.

El primer cop que es va plantejar el problema en un article fou, però, al 1969, de la mà del matemàtic nord-americà Victor Klee. En aquest cas planteja el problema restringint-lo a una regió poligonal. Klee remarca el fet que el problema suggereix fer experiments i simulacions, alhora que denota que es poden donar dificultats en fer conjectures matemàtiques amb l'experimentació degut a complicacions tècniques i físiques. Finalment, també esmenta que aquest problema té versions que contemplen que la regió estigui delimitada per un nombre finit d'arcs diferenciables.
Aquest mateix matemàtic, al 1971, va proposar portar aquest problema a l'aula, amb estudiants d'institut. En aquell moment, el problema, en la versió poligonal, encara no estava resolt. Es tractava, doncs, de dur matemàtiques recents als estudiants, qüestions encara obertes que estaven ocupant a investigadors matemàtics d'aleshores. D'aquesta manera es pretenia, a més de despertar l'interés de les noves generacions, evidenciar la naturalesa viva, rica i evolutiva de la matemàtica, en contra de la concepció anquilosada que molta gent té al respecte.

El matemàtic i físic americà Jeffrey B. Rauch també va estudiar el problema de la Il·luminació i va publicar al 1978 un article, en el qual estudiava, a partir de les propietats geomètriques de l'el·lipse i un argument elemental de compacitat, quantes fonts de llum es requereixen per il·luminar l'interior d'una regió afitada.

Al 1991, com bé apunten Croft, Falconer i Guy, el problema en la versió poligonal encara estava obert, després de quaranta anys. Haurien de passar encara quatre anys més fins que, al 1995, el matemàtic canadenc George Tokarsky publica un contraexemple, una cambra de 26 costats. Aquesta és tal que, de col·locar la font de llum en una posició determianda, queda tota la cambra il·luminada excepte per un sol punt. Tot i ser un sol punt, això ja prova la resposta negativa a la primera pregunta en el cas poligonal.

Aquest no és l'únic contraexemple, però. A tall d'exemple, l'estudiant David Castro va proposar-ne un altre. De fet, va fer una modificació del model de Tokarsky, simplificant la solució a una cambra de 24 costats. 

Fins aquí s'hauria respost a la primera pregunta de Straus en el cas poligonal. Ara bé, vist que els contraexemples només contemplen que la regió no il·luminada té mesura zero, perquè és un conjunt finit de punts, sembla adient preguntar-se si tota cambra poligonal amb les parets reflectants es pot il·luminar de manera raonable. En un article al 2016, Samuel Lelièvre, Thierry Monteil i Barak Weiss afirmen i proven que en cambres del tipus translation surfaces, independentment d'on col·loquis el llum, només hi haurà un conjunt finit de punts no il·luminats.

Aquest resultat es basa en el treball dels matemàtics Alex Eskin, Maryam Mirzakhani (l'única dona guardonada amb la medalla Fields, la qual morí al juliol del passat 2017) i Amir Mohammadi. Ofereixen una profunda comprensió de l'acció del grup de transformacions, anomenat el grup lineal especial: SL2(Z).

Una cambra amb parets reflectants qualsevol, en general, no és una translation surface. Caldria ajuntar parets paral·leles de diferents habitacions, cosa que modificaria el resultat lleugerament. No obstant, sota certes hipòtesis, es pot deduir emprant una tècnica de desdoblegament de la superfície. En definitiva, es conclou que una habitació poligonal amb parets reflectants qualsevol es pot il·luminar pràcticament en la seva totalitat. 


Les fonts en les quals m'he basat per fer aquest recorregut històric són:
  • Penrose L. S. i Penrose R. (1958). "Puzzles for Christmas''. The New Scientist, 25 Dec, 1580-1581, 1597.
  • Klee, V. (1969). "Is every polygonal region illuminable from some point?'' The American Mathematical Monthly 76, 180.
  • Klee, V. (1971). The use of research problems in high school geometry. Dins: Steiner H. G. (eds). The Teaching of Geometry at the Pre-College Level (p. 206-213). University of Erlangen-Nürnberg, PH Bayreuth, West Germany.
  • Rauch, J. (1978). "Illumination of Bounded Domains." The American Mathematical Monthly 85, 359-361.
  • Croft, H. T.; Falconer, K. J.; i Guy, R. K. (1991). "Illumination Problems". Dins: Croft, H. T.; Falconer, K. J.; i Guy, R. K., Unsolved Problems in Geometry: Unsolved Problems in Intuitive Mathematics (p. 18-19). New York: Springer-Verlag.
  • Tokarsky, G. W. (1995). "Polygonal Rooms Not Illuminable from Every Point." The American Mathematical Monthly 102, 867-879.
  • Castro, D. (1997). "Corrections."  Quantum vol. 7, núm 3, p. 42. 
  • https://www.researchinfrance.com/single-post/2017/11/15/A-Little-Layout-Problem
  • Lelièvre, Samuel; Monteil, Thierry; Weiss, Barak (2016). "Everything is illuminated." Geometry Topology. vol. 20, no. 3, 1737-1762. 
  • https://www.youtube.com/watch?v=xhj5er1k6GQ

No hay comentarios:

Publicar un comentario